Отечественный  учёный в области теоретич. механики, один из основоположников совр. гидро- и аэродинамики, академик АН СССР (1929; чл.-корр. 1924), Герой Соц. Труда (1941). Ученик и соратник Н. Е. Жуковского. В 1890 окончил физ.-матем. ф-т Моск. ун-та и по представлению Жуковского был оставлен там для подготовки к профессорскому званию. С 1893 преподавал физику в женском ср. уч. заведении, механику в Императорском техн. уч-ще, Моск. инж. уч-ще, Моск. ун-те. Ч.— организатор и директор Моск. высш. женских курсов (1905—18). Ч. написаны университетский курс аналитич. механики «Механика системы» (ч. 1—2, 1905—07) и сокращённый «Пропедевтический курс механики» для втузов и естеств. ф-тов ун-тов (1915). Первые труды Ч., созданные под влиянием Жуковского, относятся к области гидромеханики. В работе «О некоторых случаях движения твёрдого тела в жидкости» (1894) и в магистерской диссертации «О некоторых случаях движения твёрдого тела в жидкости» (1897) он дал геом. интерпретацию законов движения твёрдых тел в жидкости. За исследования по теории движения твёрдого тела в жидкости и по движению тел с неинтегрируемыми связями Ч. получил в 1899 от Петерб. АН почётную золотую медаль. .

В кон. 19 — нач. 20 вв. Ч. начинает "заниматься струйными течениями. В 1902 представляет в Моск. ун-т докторскую диссертацию «О газовых струях», в к-рой был дан метод исследования струйных течений газа при любых дозвук. скоростях. В то время исследование газовых течений со скоростями, приближающимися к скорости звука, не было актуально для авиации. Лишь через 30 лет работа Ч. явилась основой для решения задач о звук, течениях, а развитие созданных в ней методов привело к решению осн. вопросов, связанных с работой крыла при больших дозвук. скоростях.

Вопросы аэродинамики стали центром его науч. деятельности. В 1910 почти одновременно появились работы Ч. «О давлении плоскопараллельного потока на преграждающие тела» и Жуковского «О контурах поддерживающих поверхностей аэропланов», в к-рых впервые даются способы количеств, определения циркуляции вокруг профиля. Это явилось необходимым дополнением к теореме Жуковского о подъёмной силе крылового профиля. В своей работе Ч. применил выдвинутый им принцип схода струй с острой кромки крыла к определению течений около ряда конкретных профилей. В ней же содержатся формулы определения аэродинамич. подъёмной силы и момента (см. Чаплыгина — Жуковского условие).

В 1914 появилась фундам. работа Ч. «Теория решётчатого крыла», в к-рой заложены основы теории обтекания решёток циркуляц. потоком, явившейся базой для расчёта винтов, турбин и др. лопаточных машин. В последующих трудах Ч. решил ряд сложных задач, связанных с определением точки приложения подъёмной силы, определением сил, действующих в неустановившемся полёте, теорией т. н. механи-зиров. крыла, вопросами устойчивости крыла в полёте и т. д.

Большой вклад внёс Ч. в математику. Его исследования по приближённому интегрированию диф. ур-ний принадлежат к крупным достижениям матем. мысли. Идеи Ч. оказались применимы не только для решения широких классов диф. ур-ний, но и при приближённом решении весьма общих классов функциональных ур-ний.

После Окт. революции 1917 Ч. активно продолжает вести науч. исследования. С 1918 он участвует в работе Комиссии особых арт. опытов при Гл. арт. управлении и в работе Науч.-эксперим. ин-та путей сообщения, а в кон. 1918 привлекается Жуковским к организации ЦАГИ. В 1921 — 30 Ч.— пред. коллегии, в 1928—31 —дирек-тор-нач. ЦАГИ. В последующие годы Ч. руководил созданием крупнейших аэроди-намич. лабораторий ЦАГИ (1931—41). Пр. им. Н. Е. Жуковского (1925). Награждён 2 орденами Ленина, 2 орденами Трудового Красного Знамени. АН СССР учредила (1942) пр. им. С. А. Чаплыгина «За лучшую оригинальную работу по теоретическим исследованиям в области механики». Город Раненбург бывшей Рязанской губернии, где родился Ч., переименован в г. Чаплыгин (Липецкая обл.). В Москве установлен бюст Ч. (1960), а на территории ЦАГИ — памятник (1959). Его имя носят научно-иссл. ин-т авиации в Новосибирске (СибНИА), аэродинамич. лаборатория в ЦАГИ. В Москве действует мемориальный музей-квартира Ч. Его именем назван кратер на обратной стороне Луны.