Русский математик и механик, академик Петербургской АН (1901; член-корреспондент 1900). Ученик П.Л.Чебышева. В 1880г. окончил Петербургский университет. С 1885г. – доцент, с 1892г. – профессор Харьковского университета; с 1902г. работал в Петербургской АН. Ляпунов создал современную строгую теорию устойчивости равновесия и движения механических систем, определяемых конечным числом параметров. С математической стороны этот вопрос сводится к исследованию предельного поведения решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений при стремлении независимого переменного к бесконечности. Устойчивость определялась Ляпуновым по отношению к возмущениям начальных данных движения. До работ Ляпунова вопросы об устойчивости обычно решались по первому приближению, то есть путём отбрасывания всех нелинейных членов уравнений, причём не выяснялась законность такой линеаризации уравнений движения. Выдающаяся заслуга Ляпунова – построение общего метода для решения задач об устойчивости; основной труд – докторская диссертация «Общая задача об устойчивости движения» (1892). В этой работе даётся строгое определение основных понятий теории устойчивости, указываются случаи, когда рассмотрение линейных уравнений первого приближения даёт решение вопроса об устойчивости, и проводится подробное исследование некоторых важных случаев, когда первое приближение не даёт ответа на этот вопрос. Диссертация и последующие работы Ляпунова в рассматриваемой области содержат целый ряд фундаментальных результатов в теории обыкновенных дифференциальных уравнений как линейных, так и нелинейных.

Большой цикл исследований А.М.Ляпунова посвящен теории фигур равновесия равномерно вращающейся жидкости, частицы которой взаимно притягиваются по закону всемирного тяготения. До Ляпунова были установлены эллипсоидальные фигуры равновесия для однородной жидкости. Ляпунов впервые доказал существование фигур равновесия однородной и слабо неоднородной жидкости, близких к эллипсоидальным. Он установил, что от некоторых эллипсоидальных фигур равновесия ответвляются близкие к ним неэллипсоидальные фигуры равновесия однородной жидкости, а от других эллипсоидальных фигур равновесия ответвляются фигуры равновесия слабо неоднородной жидкости. Ляпунов разрешил также задачу, предложенную ему ещё в начале его научной деятельности П.Л.Чебышевым, о возможности ответвления от эллипсоидальной фигуры равновесия с наибольшей (возможной для эллипсоидов) угловой скоростью неэллипсоидальных фигур равновесия. Ответ получился отрицательным. Ляпунов впервые строго доказал существование близких к сфере фигур равновесия медленно вращающейся неоднородной жидкости при весьма общих предположениях об изменении плотности с глубиной. Ляпунов занимался также исследованием устойчивости как эллипсоидальных фигур, так и открытых им новых фигур для случая однородной жидкости. Сама постановка вопроса об устойчивости для сплошной среды (жидкость) до работ Ляпунова была неясной. Он впервые строго поставил вопрос и с помощью тонкого математического анализа провёл исследование устойчивости фигур равновесия. В частности, он доказал неустойчивость так называемых грушевидных фигур равновесия и тем самым опроверг противоположное утверждение английского астронома Дж.Дарвина. Цикл работ Ляпунова по фигурам равновесия вращающейся жидкости и устойчивости этих фигур занимает центральное место во всей теории фигур равновесия.

 Небольшим по объёму, но весьма важным для дальнейшего развития науки был цикл работ Ляпунова по некоторым вопросам математической физики. Среди работ цикла основное значение имеет его труд «О некоторых вопросах, связанных с задачей Дирихле» (1898). Эта работа основана на исследовании свойств потенциала от зарядов и диполей, непрерывно распределённых по некоторой поверхности. Наиболее существенно исследование так называемого потенциала двойного слоя (случай диполей). Далее Ляпунов получил важные результаты, касающиеся поведения производных решения задачи Дирихле при приближении к поверхности, на которой задано граничное условие. На этой основе им впервые были доказаны симметрия функции Грина для задачи Дирихле и формула, дающая решение задачи в виде интеграла по поверхности от произведения функции, входящей в граничное условие, на нормальную производную функции Грина. При всех этих условиях Ляпунов налагает на граничную поверхность некоторые ограничения; поверхности, удовлетворяющие им, называются теперь поверхностями Ляпунова.

 В теории вероятностей Ляпунов предложил новый метод исследования (метод «характеристических функций»), замечательный по своей общности и плодотворности; обобщая исследования П.Л.Чебышева и А.А.Маркова (старшего), Ляпунов доказал так называемую центральную предельную теорему теории вероятностей при значительно более общих условиях, чем его предшественники.